Vektoru lauka plūsma un cirkulācija

Balstīts uz Ričarda Feinmena lekciju materiāliem

Aprakstot elektrības likumus vektoru lauku izteiksmē, mēs saskaramies ar divām matemātiski svarīgām vektora lauka iezīmēm: plūsmu un cirkulāciju. Būtu jauki saprast, kas ir šie matemātiskie jēdzieni un kāda ir to praktiskā nozīme.

Uz jautājuma otro daļu ir viegli atbildēt uzreiz, jo plūsmas un cirkulācijas jēdzieni ir pamatā Maksvela vienādojumi, uz kuras faktiski balstās visa mūsdienu elektrodinamika.

Tā, piemēram, elektromagnētiskās indukcijas likumu var formulēt šādi: elektriskā lauka E cirkulācija pa slēgtu cilpu C ir vienāda ar magnētiskā lauka B plūsmas izmaiņu ātrumu caur virsmu S, ko ierobežo šis. cilpa B.

Turpinājumā pavisam vienkārši, izmantojot skaidrus šķidruma piemērus, aprakstīsim, kā tiek matemātiski noteikti lauka raksturlielumi, no kā tiek ņemti un iegūti šie lauka raksturlielumi.

Vektoru lauka plūsma

Sākumā ap pētāmo apgabalu uzzīmēsim noteiktu slēgtu virsmu ar pilnīgi patvaļīgu formu. Pēc šīs virsmas attēlošanas mēs jautājam, vai pētāmais objekts, ko mēs saucam par lauku, plūst caur šo slēgto virsmu. Lai saprastu, par ko ir runa, apsveriet vienkāršu šķidru piemēru.

Pieņemsim, ka mēs pētām noteikta šķidruma ātruma lauku. Šādam piemēram ir jēga jautāt: vai laika vienībā caur šo virsmu iziet vairāk šķidruma, nekā ieplūst tilpumā, ko ierobežo šī virsma? Citiem vārdiem sakot, vai izplūdes ātrums vienmēr ir vērsts galvenokārt no iekšpuses uz āru?

Izmantojot izteicienu "vektora lauka plūsma" (un mūsu piemēram, izteiciens "šķidruma ātruma plūsma" būs precīzāks), mēs vienosimies nosaukt kopējo iedomātā šķidruma daudzumu, kas plūst caur aplūkojamā tilpuma virsmu, kuru ierobežo dotais slēgta virsma (šķidruma plūsmas ātrumam, cik daudz šķidruma rodas no tilpuma laika vienībā).

Rezultātā plūsma caur virsmas elementu būs vienāda ar virsmas elementa laukuma reizinājumu ar ātruma perpendikulāro komponentu. Tad kopējā (kopējā) plūsma pa visu virsmu būs vienāda ar ātruma vidējās normālās sastāvdaļas reizinājumu, ko mēs skaitīsim no iekšpuses uz āru, ar kopējo virsmas laukumu.

Tagad atgriezieties pie elektriskā lauka. Elektrisko lauku, protams, nevar uzskatīt par kāda šķidruma plūsmas ātrumu, taču mums ir tiesības ieviest matemātisko plūsmas jēdzienu, līdzīgu tam, ko mēs iepriekš aprakstījām kā šķidruma ātruma plūsmu.

Tikai elektriskā lauka gadījumā tā plūsmu var noteikt ar elektriskā lauka intensitātes vidējo normālo komponenti E. Turklāt elektriskā lauka plūsmu var noteikt ne vienmēr caur slēgtu virsmu, bet caur jebkuru ierobežotu virsmu. no nulles apgabala S .

Vektoru lauka cirkulācija

Visiem labi zināms, ka lielākas skaidrības labad laukus var attēlot tā saukto spēka līniju veidā, kuru katrā punktā pieskares virziens sakrīt ar lauka intensitātes virzienu.

Atgriezīsimies pie šķidruma analoģijas un iedomāsimies šķidruma ātruma lauku. Uzdosim sev jautājumu: vai šķidrums cirkulē? Tas ir, vai tas galvenokārt virzās kādas iedomātas slēgtas cilpas virzienā?

Lielākai skaidrībai iedomājieties, ka šķidrums lielā traukā kaut kā kustas (A zīm.) un mēs pēkšņi sasaldējām gandrīz visu tā tilpumu, taču izdevās atstāt tilpumu nesasaldētu vienmērīgi noslēgtas caurules veidā, kurā nav nevienas. šķidruma berze uz sienām (b zīm.).

Ārpus šīs caurules šķidrums ir pārvērties ledū un tāpēc vairs nevar kustēties, bet caurules iekšpusē šķidrums spēj turpināt kustību, ja ir dominējošs impulss, kas to virza, piemēram, pulksteņrādītāja virzienā (att. . °C). Tad šķidruma ātruma caurulē un caurules garuma reizinājums tiks saukts par šķidruma ātruma cirkulāciju.

Līdzīgi mēs varam definēt cirkulāciju vektora laukam, lai gan atkal nevar teikt, ka lauks ir nekāda ātrums, tomēr mēs varam definēt "cirkulācijas" matemātisko raksturlielumu pa kontūru.

Tātad vektora lauka cirkulāciju pa iedomātu slēgtu cilpu var definēt kā vektora vidējās tangenciālās komponentes reizinājumu cilpas caurbraukšanas virzienā — pēc cilpas garuma.