Loģikas algebras pamati un likumi
Īru matemātiķis 19. gadsimta vidū Džordžs Buls izstrādāja loģikas algebru ("Domāšanas likumu izpēte"). Tāpēc tiek saukta arī loģikas algebra Būla algebra.
Dodot burtu apzīmējumus, izsakot loģisko pārveidojumu operācijas darbības simbolos un izmantojot šīm darbībām noteiktos noteikumus un aksiomas, loģikas algebra ļauj spriešanas procesu apgalvojuma loģikas izteiksmē dotas problēmas risināšanā pilnībā aprakstīt algoritmos. , tas ir, lai būtu matemātiski uzrakstīta programma, kas atrisina šo problēmu.
Lai apzīmētu apgalvojumu patiesumu vai nepatiesību (tas ir, lai ieviestu vērtības apgalvojumu novērtēšanai), loģikas algebra izmanto bināro sistēmu, kas šajā gadījumā ir ērta. Ja apgalvojums ir patiess, tas iegūst vērtību 1, ja tas ir nepatiess, tas iegūst vērtību 0. Atšķirībā no binārajiem skaitļiem loģiskie 1 un 0 izsaka nevis lielumu, bet stāvokli.
Tātad elektriskās ķēdēs, kas aprakstītas, izmantojot Būla algebru, kur 1 ir sprieguma esamība un 0 ir tā trūkums, sprieguma padeve no vairākiem avotiem vienam ķēdes mezglam (tas ir, vairāku tā loģisko vienību ierašanās) ir parāda arī kā loģisku vienību, kas norāda nevis kopējo spriegumu mezglā, bet tikai tā klātbūtni.
Aprakstot loģisko ķēžu ieejas un izejas signālus, tiek izmantoti mainīgie, kas ņem tikai loģiskās 0 vai 1 vērtības. Tiek noteikta izejas signālu atkarība no ieejas. loģiskā darbība (funkcija)… Ievades mainīgos apzīmēsim ar X1 un X2, bet izvadi, kas iegūti, veicot loģisku darbību ar tiem, apzīmēsim ar y.
Pārdomā to trīs elementāras loģiskās operācijas, ar kuru palīdzību var aprakstīt arvien sarežģītākas.
1. VAI operācija — loģisks papildinājums:
Ņemot vērā visas iespējamās mainīgo vērtības, operāciju VAI var definēt kā vismaz vienas vienības pietiekamību ievadē, lai izvadā izveidotu vienu. Operācijas nosaukums ir izskaidrots ar savienības VAI semantisko nozīmi frāzē: «Ja VAI ir viena ievade VAI otrā ir viena, tad izvade ir viena.»
2. Operācija UN — loģiskā reizināšana:
Ņemot vērā visu mainīgo vērtību kopu, operācija UN tiek definēta kā nepieciešamība saskaņot visas ievades vērtības, lai izvadā iegūtu vienu: “Ja UN ir viena ievade, bet otrā ir vieni, tad izvade ir viena. «
3. Operācija NOT — loģiskā noliegšana vai inversija. To norāda josla virs mainīgā lieluma.
Apgrieztā veidā mainīgā vērtība tiek apgriezta.
Loģiskās algebras pamatlikumi:
1. Nulles kopas likums: jebkura mainīgo skaita reizinājums pazūd, ja kāds no mainīgajiem ir nulle neatkarīgi no citu mainīgo vērtībām:
2. Universālās kopas likums — jebkura mainīgo skaita summa kļūst par vienu, ja vismaz vienam no mainīgajiem ir viena vērtība neatkarīgi no citiem mainīgajiem:
3. Atkārtošanās likums — izteiksmē var izlaist atkārtotus mainīgos (citiem vārdiem sakot, Būla algebrā nav eksponēšanas un reizināšanas ar skaitlisko koeficientu):
4. Dubultās inversijas likums — divreiz veiktā inversija ir tukša darbība:
5. Komplementaritātes likums — katra mainīgā lieluma un tā apgrieztā reizinājums ir nulle:
6. Katra mainīgā lieluma un tā apgrieztā summa ir viena:
7. Aizsardzības likumi — reizināšanas un saskaitīšanas darbību rezultāts nav atkarīgs no secības, kādā seko mainīgie:
8. Apvienotie likumi — reizināšanas un saskaitīšanas operāciju laikā mainīgos var grupēt jebkurā secībā:
9. Izplatīšanas likumi — kopējo koeficientu ir atļauts likt ārpus iekavām:
10. Absorbcijas likumi — norāda veidus, kā vienkāršot izteiksmes, kas visos faktoros un terminos ietver mainīgo:
11. De Morgana likumi — reizinājuma inversija ir mainīgo lielumu inversiju summa:
summas inversija ir mainīgo lielumu inversiju reizinājums:
