Kontaktu ķēžu algebra, Būla algebra likumi

Releju ķēžu struktūras un darbības apstākļu analītiskais pieraksts ļauj veikt analītiski ekvivalentas ķēžu transformācijas, tas ir, pārveidojot strukturālās formulas, atrodot to darbībā līdzīgas shēmas. Konversijas metodes ir īpaši pilnībā izstrādātas strukturālajām formulām, kas izsaka kontaktu ķēdes.

Kontaktshēmām tiek izmantots loģikas algebras matemātiskais aparāts, precīzāk, viens no tās vienkāršākajiem variantiem, ko sauc par proposition calculus jeb Būla algebru (pēc pagājušā gadsimta matemātiķa Dž. Būla).

Propozīcijas aprēķins sākotnēji tika izstrādāts, lai pētītu atkarību (sarežģītu spriedumu patiesumu vai nepatiesību par vienkāršu priekšlikumu patiesumu vai nepatiesību, kas tos veido. Būtībā propozīcijas aprēķins ir divu skaitļu algebra, tas ir, algebra kuras katram atsevišķam argumentam un katrai funkcijai var būt viena no divām vērtībām.

Tas nosaka iespēju izmantot Būla algebru, lai pārveidotu kontaktu ķēdes, jo katram no strukturālajā formulā iekļautajiem argumentiem (kontaktiem) var būt tikai divas vērtības, tas ir, tas var būt aizvērts vai atvērts, un visa funkcija, ko attēlo strukturālā struktūra. formula var izteikt gan slēgtu, gan atvērtu cilpu.

Būla algebra ievieš:

1) objekti, kuriem, tāpat kā parastajā algebrā, ir nosaukumi: neatkarīgi mainīgie un funkcijas — tomēr atšķirībā no parastās algebras Būla algebrā abām var būt tikai divas vērtības: 0 un 1;

2) loģiskās pamatoperācijas:

• loģiskā saskaitīšana (vai disjunkcija, loģiskā VAI, ko apzīmē ar zīmi ?), ko definē šādi: darbības rezultāts ir 0 tad un tikai tad, ja visi darbības argumenti ir vienādi ar 0, pretējā gadījumā rezultāts ir 1;

• loģiskā reizināšana (vai konkatenācija, loģiskā UN, apzīmēta ar ?, vai nav norādīta vispār), kas tiek definēta šādi: darbības rezultāts ir 1 tad un tikai tad, ja visi darbības argumenti ir vienādi ar 1, pretējā gadījumā rezultāts ir ir 0;

• noliegums (vai otrādi, loģisks NAV, norādīts ar joslu virs argumenta), kas tiek definēts šādi: darbības rezultātam ir pretēja argumenta vērtība;

3) aksiomas (Būla algebras likumi), kas definē loģisko izteiksmju pārveidošanas noteikumus.

Ņemiet vērā, ka katru no loģiskajām operācijām var veikt gan ar mainīgajiem, gan ar funkcijām, kuras turpmāk tiks sauktas par Būla funkcijām... Atgādiniet, ka pēc analoģijas ar parasto algebru Būla algebrā loģiskās reizināšanas darbībai ir prioritāte pār loģisko. pievienošanas darbība.

Būla izteiksmes tiek veidotas, apvienojot loģiskās darbības ar vairākiem objektiem (mainīgajiem vai funkcijām), ko sauc par darbības argumentiem.

Loģisko izteiksmju transformācija, izmantojot Būla algebras likumus, parasti tiek veikta ar mērķi minimizēt, jo jo vienkāršāka izteiksme, jo mazāka ir loģiskās ķēdes sarežģītība, kas ir loģiskās izteiksmes tehniskā realizācija.

Būla algebras likumi tiek parādīti kā aksiomu un seku kopums. Tos var pārbaudīt pavisam vienkārši, aizstājot dažādas mainīgo vērtības.

Jebkuras Būla funkcijas loģiskās izteiksmes tehniskais analogs ir loģiskā diagramma... Šajā gadījumā mainīgie, no kuriem ir atkarīga Būla funkcija, ir savienoti ar šīs ķēdes ārējām ieejām, Būla funkcijas vērtība tiek veidota pie ķēdes ārējā izeja, un katra loģiskā darbība loģiskā izteiksmē tiek realizēta ar loģisku elementu.

Tādējādi katrai ieejas signālu kopai loģiskās ķēdes izejā tiek ģenerēts signāls, kas atbilst šīs mainīgo kopas Būla funkcijas vērtībai (turpmāk mēs izmantosim šādu vienošanos: 0 — zems signāla līmenis , 1 — augsts signāla līmenis).

Veidojot loģiskās shēmas, mēs pieņemsim, ka mainīgie tiek ievadīti ieejā parafāzes kodā (tas ir, ir pieejamas gan tiešās, gan apgrieztās mainīgo vērtības).

1. tabulā parādīti dažu loģisko elementu parastie grafiskie apzīmējumi saskaņā ar GOST 2.743-91, kā arī to ārvalstu kolēģi.

Papildus elementiem, kas veic trīs Būla algebras darbības (UN, OR, NOT), cilnē. 1 parāda elementus, kas veic darbības, kas iegūtas no galvenā:

— UN —NE — loģiskās reizināšanas noliegums, ko sauc arī par Šēfera gājienu (apzīmē ar |)

— VAI — NĒ — loģiskā papildinājuma noliegums, ko sauc arī par Pīrsa bultiņu (apzīmē ar?)

Sērijveidā savienojot kopā loģiskos vārtus, varat ieviest jebkuru Būla funkciju.

Strukturālās formulas, kas izsaka releju ķēdes kopumā, t.i., satur reaģējošu ērgļu simbolus, nevar uzskatīt par divu vērtību funkcijām, kas izsaka tikai slēgtu vai atvērtu ķēdi. Tāpēc, strādājot ar šādām funkcijām, rodas vairākas jaunas atkarības, kas pārsniedz Būla algebras robežas.

Būla algebrā ir četri pamatlikumu pāri: divi pārvietojumi, divi kombinatori, divi sadales un divas juridiskās inversijas. Šie likumi nosaka dažādu izteiksmju līdzvērtību, tas ir, tie uzskata izteiksmes, kuras var aizstāt viena ar otru, piemēram, identitāšu aizstāšanu parastajā algebrā. Kā ekvivalences simbolu mēs ņemam simbolu, kas ir tāds pats kā vienlīdzības simbols parastajā algebrā (=).

Būla algebras likumu derīgums kontaktu ķēdēm tiks noteikts, ņemot vērā ķēdes, kas atbilst ekvivalentu izteiksmju kreisajai un labajai pusei.

Ceļojumu likumi

Lai pievienotu: x + y = y + x

Shēmas, kas atbilst šīm izteiksmēm, ir parādītas attēlā. 1, a.

Kreisā un labā ķēde parasti ir atvērtas ķēdes, no kurām katra aizveras, kad tiek iedarbināts kāds no elementiem (X vai Y), tas ir, šīs ķēdes ir līdzvērtīgas. Reizināšanai: x ·y = y ·NS.

Shēmas, kas atbilst šīm izteiksmēm, ir parādītas attēlā. 1b, arī to līdzvērtība ir acīmredzama.

Rīsi. 1

Kombinācijas likumi

Saskaitīšanai: (x + y) + z = x + (y + z)

Reizināšanai: (x ·y) ·z = x · (y ·z)

Ekvivalentu ķēžu pāri, kas atbilst šīm izteiksmēm, ir parādīti attēlā. 2, a, b

Rīsi. 2

Izplatīšanas likumi

Reizināšana pret saskaitīšanu: (x + y) +z = x + (y + z)

Saskaitīšana pret reizināšanu. x ·y + z = (x + z) · (y + z)

Shēmas, kas atbilst šīm izteiksmēm, ir parādītas attēlā. 3, a, b.

Rīsi. 3.

Šo shēmu līdzvērtību var viegli pārbaudīt, apsverot dažādas kontakta iedarbināšanas kombinācijas.

Inversijas likumi

Pievienojot: NS + c = NS·c

Josla virs izteiksmes kreisās puses ir nolieguma vai inversijas zīme. Šī zīme norāda, ka visai funkcijai ir pretēja nozīme attiecībā uz izteiksmi zem nolieguma zīmes. Nav iespējams uzzīmēt diagrammu, kas atbilst visai apgrieztajai funkcijai, bet var uzzīmēt diagrammu, kas atbilst izteiksmei zem negatīvās zīmes. Tādējādi formulu var ilustrēt ar diagrammām, kas parādītas attēlā. 4, a.

Rīsi. 4.

Kreisā diagramma atbilst izteiksmei x + y, bet labā - NS ·c

Šīs divas ķēdes darbībā ir pretējas viena otrai, proti: ja kreisā ķēde ar neierosinātiem elementiem X, Y ir atvērta ķēde, tad labā ķēde ir slēgta. Ja kreisajā ķēdē, iedarbinot vienu no elementiem, ķēde aizveras, bet labajā ķēdē, gluži pretēji, tā atveras.

Tā kā pēc negatīvās zīmes definīcijas funkcija x + y ir funkcijas x + y apgrieztā vērtība, tad ir skaidrs, ka x + y = NS·in.

Par reizināšanu: NS · c = NS + c

Atbilstošās shēmas ir parādītas attēlā. 4, b.

Translokatīvais un kombinatīvais un reizināšanas likumi un sadales likums attiecībā uz saskaitīšanu (atbilst līdzīgiem parastās algebras likumiem).Tāpēc, pārveidojot strukturālās formulas terminu saskaitīšanas un reizināšanas secībā, terminu izvietošanu ārpus iekavām un iekavu paplašināšanu, varat ievērot noteikumus, kas noteikti darbam ar parastajām algebriskajām izteiksmēm. Saskaitīšanas sadales likums attiecībā uz reizināšanu un inversijas likumi ir raksturīgi Būla algebrai.