Kāpēc maiņstrāvas ķēdēs aprēķiniem tiek izmantoti kompleksie skaitļi

Kā zināms, kompleksos skaitļus izmanto, lai atrisinātu dažas tipiskas elektrotehnikas problēmas. Bet kam tie tiek izmantoti un kāpēc tas tiek darīts šādā veidā? To mēs centīsimies saprast šī raksta gaitā. Fakts ir tāds, ka sarežģītā metode vai komplekso amplitūdu metode ir ērta, lai aprēķinātu sarežģītas maiņstrāvas ķēdes. Un sākumā atcerēsimies dažus matemātikas pamatus:

Kā redzat, kompleksais skaitlis z ietver iedomāto daļu un reālo daļu, kas atšķiras viena no otras un tekstā tiek apzīmētas atšķirīgi. Komplekso skaitli z var uzrakstīt algebriskā, trigonometriskā vai eksponenciālā formā:

Vēsturiskais fons

Tiek uzskatīts, ka ideja par iedomātiem skaitļiem aizsākās 1545. gadā, kad itāļu matemātiķis, inženieris, filozofs, ārsts un astrologs Žirolamo Kardano publicēja šo vienādojumu risināšanas metodi savā traktātā "Lielā māksla", kur, cita starpā, , viņš atzina, ka Nikolo bija viņam iedevis ideju Tartaglijai (itāliešu matemātiķim) 6 gadus pirms šī darba publicēšanas. Savā darbā Kradano atrisina formas vienādojumus:

Šo vienādojumu risināšanas procesā zinātnieks bija spiests atzīt kāda «nereāla» skaitļa esamību, kura kvadrāts būs vienāds ar mīnus viens «-1», tas ir, it kā ir kvadrātsakne no negatīvs skaitlis, un, ja tas tagad ir kvadrātā, izrādīsies atbilstošais negatīvais skaitlis zem saknes. Cardano noteica reizināšanas likumu, saskaņā ar kuru:

Trīs gadsimtus matemātikas kopiena sāka pierast pie jaunās Cardano piedāvātās pieejas. Iedomātie skaitļi pamazām iesakņojas, bet matemātiķi tos nelabprāt pieņem. Tikai pēc Gausa darbu publicēšanas par algebru, kur viņš pierādīja algebras fundamentālo teorēmu, kompleksie skaitļi beidzot tika pilnībā pieņemti, tuvojās 19. gadsimts.

Iedomātie skaitļi kļuva par īstu glābiņu matemātiķiem, jo ​​vissarežģītākās problēmas kļuva daudz vieglāk atrisināmas, pieņemot iedomātu skaitļu esamību.

Tā drīz vien nonāca elektrotehnikā. Maiņstrāvas ķēdes dažreiz bija ļoti sarežģītas, un, lai tās aprēķinātu, bija jāaprēķina daudzi integrāļi, kas bieži vien bija ļoti neērti.

Visbeidzot, 1893. gadā izcilais elektroinženieris Kārlis Augusts Šteinmets uzstājās Čikāgā Starptautiskajā elektrotehnikas kongresā ar ziņojumu "Kompleksi skaitļi un to pielietojums elektrotehnikā", kas faktiski iezīmēja sākumu inženieru praktiskajā pielietošanā sarežģīto metodi. elektrisko ķēžu aprēķināšana maiņstrāvai.

Mēs to zinām no fizikas kursa maiņstrāva — tā ir strāva, kas laika gaitā mainās gan lielumā, gan virzienā.

Tehnoloģijā ir dažādas maiņstrāvas formas, bet mūsdienās visizplatītākā ir sinusoidālā maiņstrāva, tā tiek izmantota visur, ar kuras palīdzību tiek pārvadīta elektrība, maiņstrāvas veidā, kuru ģenerē, pārvērš transformatorus un patērē slodzes. Sinusoidālā strāva periodiski mainās saskaņā ar sinusoidālo (harmonisko) likumu.

Strāvas un sprieguma efektīvās vērtības ir mazākas par saknes amplitūdas vērtībām divas reizes:

Sarežģītajā metodē strāvu un spriegumu efektīvās vērtības raksta šādi:

Ņemiet vērā, ka elektrotehnikā iedomāto vienību apzīmē ar burtu «j», jo burts «i» jau šeit tiek lietots, lai apzīmētu strāvu.

No Oma likums nosaka pretestības komplekso vērtību:

Sarežģītu vērtību saskaitīšana un atņemšana tiek veikta algebriskā formā, bet reizināšana un dalīšana - eksponenciālā formā.

Apskatīsim sarežģīto amplitūdu metodi, izmantojot konkrētas ķēdes piemēru ar noteiktām galveno parametru vērtībām.

Piemērs uzdevuma risināšanai, izmantojot kompleksos skaitļus

Ņemot vērā:

• spoles spriegums 50 V,

• rezistoru pretestība 25 omi,

• spoles induktivitāte 500 mH,

• kondensatora elektriskā jauda ir 30 mikrofaradi,

• spoles pretestība 10 omi,

• tīkla frekvence 50 Hz.

Atrodiet: ampērmetra un voltmetra rādījumus, kā arī vatmetru.

Atbilde:

Sākumā pierakstām virknē savienoto elementu komplekso pretestību, kas sastāv no reālām un iedomātām daļām, tad atrodam aktīvā-induktīvā elementa komplekso pretestību.

Atceroties! Lai iegūtu eksponenciālo formu, atrodiet moduli z, kas vienāds ar kvadrātsakni no reālās un iedomātās daļas kvadrātu summas, un phi, kas vienāds ar iedomātās daļas koeficienta arktangensu, kas dalīts ar reālo daļu.

Tad mēs atrodam strāvu un attiecīgi ampērmetra rādījumus:

Tātad ampērmetrs rāda strāvu 0,317 A — tā ir strāva visā sērijas ķēdē.

Tagad mēs atradīsim kondensatora kapacitatīvo pretestību, pēc tam noteiksim tā sarežģīto pretestību:

Pēc tam mēs aprēķinām šīs ķēdes kopējo komplekso pretestību:

Tagad mēs atrodam ķēdei pievienoto efektīvo spriegumu:

Voltmetrs parādīs 19,5 voltu efektīvu spriegumu.

Visbeidzot, mēs atrodam jaudu, ko rādīs vatmetrs, ņemot vērā fāzes starpību starp strāvu un spriegumu

Vatmetrs rādīs 3,51 vatu.

Tagad jūs saprotat, cik svarīgi kompleksi skaitļi ir elektrotehnikā. Tos izmanto ērtai elektrisko ķēžu aprēķināšanai. Daudzas elektroniskās mērierīces darbojas uz tā paša pamata.