Biota-Savarta likums un magnētiskās indukcijas vektora cirkulācijas teorēma

1820. gadā franču zinātnieki Žans Batists Bio un Fēlikss Savards, veicot kopīgus eksperimentus, lai pētītu līdzstrāvu magnētiskos laukus, nepārprotami konstatēja, ka līdzstrāvas magnētiskā indukcija, kas plūst caur vadītāju, var tikt uzskatīta par līdzstrāvas magnētiskās indukcijas rezultātu. vispārēja visu šī vada posmu darbība ar strāvu. Tas nozīmē, ka magnētiskais lauks pakļaujas superpozīcijas principam (lauku superpozīcijas principam).

Līdzstrāvas vadu grupas radītajam magnētiskajam laukam ir šādas īpašības magnētiskā indukcijaka tā vērtība ir definēta kā katra vadītāja atsevišķi radīto magnētisko indukciju vektora summa. Tas ir, līdzstrāvas vadītāja indukciju B var precīzi attēlot ar elementāro indukciju dB vektoru summu, kas pieder aplūkotā līdzstrāvas vadītāja I elementārajām sekcijām dl.

Ir praktiski nereāli izolēt līdzstrāvas vadītāja elementāru sekciju, jo D.C. vienmēr slēgts.Bet jūs varat izmērīt kopējo magnētisko indukciju, ko rada vads, tas ir, ko rada visas noteiktā vada elementārās daļas.

Tādējādi Biota-Sovara likums ļauj atrast vadītāja sekcijas (zināms garums dl) magnētiskās indukcijas B vērtību ar noteiktu līdzstrāvu I noteiktā attālumā r no šī vadītāja posma un noteikts novērošanas virziens no izvēlētās sekcijas (noteikts caur leņķa sinusu starp strāvas virzienu un virzienu no vadītāja posma uz pārbaudīto punktu telpā pie vadītāja):

Eksperimentāli tika noskaidrots, ka magnētiskās indukcijas vektora virzienu viegli noteikt ar labās puses skrūvi jeb kardāna likumu: ja kardāna translācijas kustības virziens tā griešanās laikā sakrīt ar līdzstrāvas I virzienu vadā, tad kardāna roktura griešanās virziens nosaka dotās strāvas radītā magnētiskās indukcijas vektora B virzienu.

Taisnas strāvas vada magnētiskais lauks, kā arī Bio-Savarta likuma piemērošanas ilustrācija ir parādīta attēlā:

Tātad, ja mēs integrējam, tas ir, pievienojam katras no pastāvīgas strāvas vadītāja mazajām sekcijām ieguldījumu kopējā magnētiskajā laukā, mēs iegūstam formulu, kā atrast strāvas vadītāja magnētisko indukciju noteiktā rādiusā R no tā. .

Tādā pašā veidā, izmantojot Bio-Savarda likumu, jūs varat aprēķināt magnētiskās indukcijas no dažādu konfigurāciju līdzstrāvām un noteiktos telpas punktos, piemēram, magnētisko indukciju apļveida ķēdes centrā ar strāvu nosaka sekojoša formula:

Magnētiskās indukcijas vektora virziens ir viegli atrodams pēc kardāna likuma, tikai tagad kardāns jāgriež slēgtās strāvas virzienā, un kardāna kustība uz priekšu parādīs magnētiskās indukcijas vektora virzienu.

Bieži aprēķinus attiecībā uz magnētisko lauku var vienkāršot, ja ņemam vērā ģenerējošā lauka doto strāvu konfigurācijas simetriju. Šeit var izmantot magnētiskās indukcijas vektora cirkulācijas teorēmu (piemēram, Gausa teorēmu elektrostatikā). Kas ir "magnētiskās indukcijas vektora cirkulācija"?

Izvēlēsimies telpā noteiktu patvaļīgas formas slēgtu cilpu un nosacīti norādīsim tā pārvietošanās pozitīvo virzienu Katram šīs cilpas punktam var atrast magnētiskās indukcijas vektora B projekciju uz cilpas pieskares šajā punktā. Tad šo daudzumu produktu summa ar visu kontūras posmu elementārajiem garumiem ir magnētiskās indukcijas vektora B cirkulācija pa šo kontūru:

Praktiski visas strāvas, kas šeit rada vispārēju magnētisko lauku, var vai nu iekļūt aplūkojamajā ķēdē, vai arī dažas no tām var būt ārpus tās. Saskaņā ar cirkulācijas teorēmu: līdzstrāvu magnētiskās indukcijas vektora B cirkulācija slēgtā kontūrā ir skaitliski vienāda ar magnētiskās konstantes mu0 reizinājumu ar visu cilpā caurejošo tiešo strāvu summu. Šo teorēmu formulēja Andre Marie Ampere 1826.

Apsveriet iepriekš redzamo attēlu. Šeit strāvas I1 un I2 iekļūst ķēdē, bet tās ir vērstas dažādos virzienos, kas nozīmē, ka tām ir nosacīti atšķirīgas zīmes.Pozitīvajai zīmei būs strāva, kuras magnētiskās indukcijas virziens (saskaņā ar pamatnoteikumu) sakrīt ar izvēlētās ķēdes apvada virzienu. Šajā situācijā cirkulācijas teorēma ir šāda:

Kopumā magnētiskās indukcijas vektora B cirkulācijas teorēma izriet no magnētiskā lauka superpozīcijas principa un Biot-Savard likuma.

Piemēram, mēs iegūstam līdzstrāvas vadītāja magnētiskās indukcijas formulu. Izvēlēsimies kontūru apļa formā, caur kuras centru iet šis vads, un stieple ir perpendikulāra kontūras plaknei.

Tādējādi apļa centrs atrodas tieši vadītāja centrā, tas ir, vadītājā. Tā kā attēls ir simetrisks, vektors B ir vērsts tangenciāli uz apli, un tāpēc tā projekcija uz pieskares visur ir vienāda un ir vienāda ar vektora B garumu. Cirkulācijas teorēmu raksta šādi:

Tāpēc seko taisna vadītāja magnētiskās indukcijas formula ar līdzstrāvu (šī formula jau ir dota iepriekš). Tāpat, izmantojot cirkulācijas teorēmu, var viegli atrast simetrisko līdzstrāvas konfigurāciju magnētiskās indukcijas, kur lauka līniju attēlu ir viegli vizualizēt.

Viens no praktiski svarīgiem cirkulācijas teorēmas pielietošanas piemēriem ir magnētiskā lauka atrašana toroidālā induktora iekšpusē.

Pieņemsim, ka uz virtuļa formas kartona rāmja ir noapaļota toroidāla spole ar apgriezienu skaitu N. Šajā konfigurācijā magnētiskās indukcijas līnijas ir ietvertas virtuļa iekšpusē un ir koncentriski (viena otrā) apļi. .

Ja paskatās magnētiskās indukcijas vektora virzienā pa virtuļa iekšējo asi, izrādās, ka strāva tiek virzīta visur pulksteņrādītāja virzienā (saskaņā ar kardāna likumu). Apsveriet vienu no magnētiskās indukcijas līnijām (attēlota sarkanā krāsā) spoles iekšpusē un izvēlieties to kā apļveida cilpu ar rādiusu r. Tad cirkulācijas teorēma noteiktai ķēdei tiek uzrakstīta šādi:

Un lauka magnētiskā indukcija spoles iekšpusē būs vienāda ar:

Plānai toroidālai spolei, kur magnētiskais lauks ir gandrīz vienmērīgs visā šķērsgriezumā, magnētiskās indukcijas izteiksmi var uzrakstīt it kā bezgalīgi garam solenoīdam, ņemot vērā apgriezienu skaitu garuma vienībā — n :

Tagad apsveriet bezgalīgi garu solenoīdu, kurā magnētiskais lauks ir pilnībā iekšā. Izvēlētajam taisnstūra kontūram piemērojam cirkulācijas teorēmu.

Šeit magnētiskās indukcijas vektors dos nulles projekciju tikai 2. pusē (tā garums ir vienāds ar L). Izmantojot parametru n — «apgriezienu skaits garuma vienībā», iegūstam šādu cirkulācijas teorēmas formu, kas galu galā reducējas līdz tādai pašai formai kā multitonCoy toroidālajai spolei: