Skaitļu sistēmas

Skaitļu sistēma ir noteikumu kopums skaitļu attēlošanai, izmantojot dažādas ciparu zīmes. Skaitļu sistēmas iedala divos veidos: nepozicionālās un pozicionālās.

Pozicionālo skaitļu sistēmās katra cipara vērtība nav atkarīga no pozīcijas, ko tas ieņem, tas ir, no vietas, ko tas ieņem ciparu kopā. Romiešu ciparu sistēmā ir tikai septiņi cipari: viens (I), pieci (V), desmit (X), piecdesmit (L), simts (C), pieci simti (D), viens tūkstotis (M). Izmantojot šos skaitļus (simbolus), atlikušos skaitļus raksta, saskaitot un atņemot. Piemēram, IV ir skaitļa 4 (V — I) apzīmējums, VI ir skaitļa 6 (V + I) un tā tālāk. Skaitlis 666 romiešu sistēmā ir rakstīts šādi: DCLXVI.

Šis apzīmējums ir mazāk ērts nekā pašlaik lietojamais. Šeit seši ir rakstīti ar vienu simbolu (VI), seši desmiti ar citu (LX), seši simti un trešais (DC). Ir ļoti grūti veikt aritmētiskās darbības ar cipariem, kas rakstīti romiešu ciparu sistēmā. Turklāt nepozicionālo sistēmu kopīgs trūkums ir pietiekami lielu skaitļu attēlošanas sarežģītība tajās, lai radītu ārkārtīgi apgrūtinošu apzīmējumu.

Tagad apsveriet to pašu skaitli 666 pozīcijas skaitļu sistēmā. Tajā viena zīme 6 nozīmē vieninieku skaitu, ja tā atrodas pēdējā vietā, desmitnieku skaitu, ja tā atrodas priekšpēdējā vietā, un simtnieku skaitu, ja tā atrodas trešajā vietā no beigām. Šo skaitļu rakstīšanas principu sauc par pozicionālo (lokālo). Šādā ierakstā katrs cipars saņem skaitlisku vērtību atkarībā ne tikai no tā stila, bet arī no tā, kur tas atrodas, kad tiek ierakstīts skaitlis.

Pozicionālo skaitļu sistēmā jebkuru skaitli, kas attēlots kā A = +a1a2a3 … ann-1an, var attēlot kā summu

kur n — galīgs ciparu skaits skaitļa attēlā, ii skaitlis i-go cipars, d — skaitļu sistēmas bāze, i — kategorijas kārtas numurs, dm-i — i-ro kategorijas "svars" . Cipariem ai jāapmierina nevienādība 0 <= a <= (d — 1).

Decimālzīmei d = 10 un ai = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

Tā kā skaitļus, kas sastāv no vieniniekiem un nullēm, var uztvert kā decimālskaitļus vai binārus skaitļus, tos lietojot kopā, parasti tiek norādīta skaitļu sistēmas bāze, piemēram, (1100)2-binārā, (1100)10-decimāldaļa.

Digitālajos datoros plaši tiek izmantotas sistēmas, kas nav decimālās sistēmas: binārā, oktālā un heksadecimālā.

Binārā sistēma

Šai sistēmai d = 2 un šeit ir atļauti tikai divi cipari, t.i., ai = 0 vai 1.

Jebkurš skaitlis, kas izteikts binārajā sistēmā, tiek attēlots kā bāzes jaudas reizinājuma summa, kas divas reizes pārsniedz dotā bita bināro ciparu. Piemēram, skaitli 101.01 var uzrakstīt šādi: 101.01 = 1×22 + 0x21 + 1×20 + 0x2-1 + 1×2-2, kas atbilst skaitlim decimālajā sistēmā: 4 + 1 + 0,25 = 5.25 .

Lielākajā daļā mūsdienu digitālo datoru bināro skaitļu sistēmu izmanto, lai attēlotu skaitļus mašīnā un veiktu aritmētiskās darbības ar tiem.

Binārā skaitļu sistēma, salīdzinot ar decimālo, ļauj vienkāršot aritmētiskās ierīces un atmiņas ierīces shēmas un shēmas un palielināt datora uzticamību. Katra binārā skaitļa bita cipars tiek attēlots ar "ieslēgts / izslēgts" stāvokļiem tādiem elementiem kā tranzistori, diodes, kas droši darbojas "ieslēgts / izslēgts" stāvokļos. Binārās sistēmas trūkumi ietver nepieciešamību pēc īpašas programmas tulkot oriģinālos digitālos datus binārajā skaitļu sistēmā un lēmuma rezultātus decimāldaļās.

Oktālo skaitļu sistēma

Šīs sistēmas bāze ir d == 8. Skaitļus izmanto, lai attēlotu skaitļus: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7.

Astotnieku skaitļu sistēma datorā tiek izmantota kā palīglīdzeklis uzdevumu sagatavošanā risināšanai (programmēšanas procesā), mašīnas darbības pārbaudē un programmas atkļūdošanā. Šī sistēma sniedz īsāku skaitļa attēlojumu nekā binārā sistēma. Astoņskaitļu sistēma ļauj vienkārši pārslēgties uz bināro sistēmu.

Heksadecimālā skaitļu sistēma

Šīs sistēmas bāze ir d = 16. Ciparu apzīmēšanai tiek izmantotas 16 rakstzīmes: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F un rakstzīmes A … F apzīmē decimālos skaitļus 10, 11, 12, 13, 14 un 15. Heksadecimālais skaitlis (1D4F) 18 atbildīs decimāldaļai 7503, jo (1D4F)18 = 1 x163 + 13 x 162 + 14 x 161+ 15 x 16O = (7503)10

Heksadecimālais apzīmējums ļauj bināros skaitļus rakstīt kompaktāk nekā oktālos. Tas atrod pielietojumu dažu datoru ievades un izvades ierīcēs un numuru secības displeja ierīcēs.

Bināro decimālo skaitļu sistēma

Skaitļu attēlojums binārajā-decimālajā sistēmā ir šāds. Par pamatu tiek ņemts skaitļa decimālais apzīmējums, un pēc tam katrs tā cipars (no 0 līdz 9) tiek uzrakstīts četrciparu bināra skaitļa formā, ko sauc par tetradu, tas ir, neviena zīme netiek izmantota, lai attēlotu. katrs decimālās sistēmas cipars, bet četri.

Piemēram, decimālskaitlis 647,59 atbilstu BCD 0110 0100 0111, 0101 1001.

Bināro decimālo skaitļu sistēmu izmanto kā starpposma skaitļu sistēmu un ievades un izvades skaitļu kodēšanai.

Noteikumi vienas numuru sistēmas pārsūtīšanai uz citu

Informācijas apmaiņa starp datoru ierīcēm galvenokārt tiek veikta ar skaitļu palīdzību, kas attēloti binārajā skaitļu sistēmā. Tomēr informācija lietotājam tiek parādīta skaitļos decimālajā sistēmā, un komandu adresācija tiek parādīta oktālajā sistēmā. Tāpēc, strādājot ar datoru, ir jāpārsūta skaitļi no vienas sistēmas uz otru. Lai to izdarītu, izmantojiet šo vispārīgo noteikumu.

Lai pārvērstu veselu skaitli no jebkuras skaitļu sistēmas citā, šis skaitlis pēc kārtas jādala ar jaunās sistēmas bāzi, līdz koeficients nav mazāks par dalītāju. Skaitlis jaunajā sistēmā jāraksta dalījuma atlikumu veidā, sākot ar pēdējo, tas ir, no labās uz kreiso pusi.

Piemēram, pārveidosim decimāldaļu 1987 par bināro:

Decimālskaitlis 1987 binārā formātā ir 11111000011, t.i. (1987)10 = (11111000011)2

Pārejot no jebkuras sistēmas uz decimāldaļu, skaitlis tiek attēlots kā bāzes pakāpju summa ar atbilstošajiem koeficientiem, un pēc tam tiek aprēķināta summas vērtība.

Piemēram, pārveidosim oktālo skaitli 123 par decimāldaļu: (123)8 = 1 x 82 + 2 x 81 + 3 x 80 = 64 + 16 + 3 = 83, t.i. (123)8 = (83)10

Lai pārsūtītu skaitļa daļējo daļu no jebkuras sistēmas uz citu, ir jāveic šīs daļdaļas un iegūto reizinājuma daļu secīga reizināšana, pamatojoties uz jauno skaitļu sistēmu. Skaitļa daļējā daļa jaunajā sistēmā tiek veidota veselu iegūto produktu daļu veidā, sākot no pirmās. Reizināšanas process turpinās, līdz tiek aprēķināts skaitlis ar noteiktu precizitāti.

Piemēram, pārveidosim decimālo daļu 0,65625 par bināro skaitļu sistēmu:

Tā kā piektā reizinājuma daļējā daļa sastāv tikai no nullēm, turpmāka reizināšana nav nepieciešama. Tas nozīmē, ka dotā decimāldaļa tiek pārvērsta binārā bez kļūdām, t.i. (0,65625)10 = (0,10101)2.

Pārveidot no oktālā un heksadecimālā uz bināro un otrādi nav grūti. Tas ir tāpēc, ka to bāzes (d — 8 un d — 16) atbilst veseliem skaitļiem no diviem (23 = 8 un 24 = 16).

Lai oktālos vai heksadecimālos skaitļus pārvērstu par bināriem, pietiek ar to, ka katrs no tiem tiek aizstāts ar attiecīgi trīs vai četru ciparu bināro skaitli.

Piemēram, pārtulkosim oktālo skaitli (571)8 un heksadecimālo skaitli (179)16 binārajā skaitļu sistēmā.

Abos gadījumos iegūstam vienādu rezultātu, t.i. (571)8 = (179)16 = (101111001)2

Lai pārvērstu skaitli no binārā decimāldaļas uz decimālo, katra skaitļa tetrada, kas attēlota binārā decimāldaļā, jāaizstāj ar ciparu, kas attēlots decimāldaļā.

Piemēram, rakstīsim skaitli (0010 0001 1000, 0110 0001 0110)2-10 decimāldaļās, t.i. (0010 0001 1000, 0110 0001 0110) 2-10 = (218 625)